Экран 1, классика. Поле чудес, три шкатулки. Числа — вероятность, пустые красные, деньги зелёные. Главная мысль: менять выгодно тогда, когда сначала промахнулся, а промахнуться легко — два из трёх, со ста шкатулками девяносто девять из ста. Доказательства: тысяча симуляций и сто шкатулок; таблица всех исходов и формальный Байес — в шторках.
экран 1 · классика
Как мечтал в детстве — ты на «Поле чудес»
Отгадал три буквы подряд, и, раз ты такой дофига умный, тебе выносят не две, а три шкатулки — деньги лишь в одной, две другие пусты.
Правила простые. Ты выбираешь шкатулку, не открывая. Дальше Леонид Аркадьевич — а он-то знает, где деньги — откроет одну из двух оставшихся, всегда пустую. И игриво предложит: поменять выбор или остаться при своей.
Леонид Аркадьевич игриво спрашивает: какую берёшь?
число над шкатулкой — вероятность, что деньги в ней
Всё ещё не верится?
Это нормально. Даже Пол Эрдёш — великий математик XX века — не верил в эти 2/3, пока машина не проиграла эту игру тысячу раз у него на глазах. Сыграй и ты:
А теперь — сто шкатулок
Та же игра, но шкатулок сто, деньги в одной. Угадать с первого раза — 1 из 100, то есть почти наверняка мимо. Выбери любую — Якубович откроет 98 пустых, а одну оставит закрытой.
Все исходы одной таблицей
Смена выигрывает ровно тогда, когда первоначальный выбор был мимо.
| первоначальный выбор | шанс | если поменяешь |
|---|---|---|
| сразу попал на деньги | 1/3 | проигрыш |
| промахнулся | 2/3 | выигрыш |
Промахнуться легко — 2 шанса из 3. Вот откуда берётся 2/3.
Для тех, кто говорит на голубином языке: формальный Байес
Пусть \(H_i\) — событие «деньги в шкатулке \(i\)», а \(D_3\) — «ведущий открыл шкатулку 3». Ты выбрал шкатулку 1.
Остаться даёт \(P(H_1\mid D_3)=\tfrac13\), сменить — \(P(H_2\mid D_3)=\tfrac23\). Весь перекос создаёт один множитель \(P(D_3\mid H_2)=1\): правило «открываю только пустую» вынуждает ведущего открыть именно 3 — и перебрасывает вес на шкатулку 2. Это и есть likelihood. Поменяй правило ведущего — поедут и числа. Об этом второй экран.
Экран 2. Тумблер: Якубович знает, где деньги, или открывает наугад. Картинка на экране одна и та же, но шанс выиграть сменой падает с 67% до 50%. Когда он открывает наугад, его пустая шкатулка ничего не говорит о деньгах. Главная мысль: важно не то, что открылось, а как ты об этом узнал. Примеры из жизни: деньги и здоровье.
экран 2 · правило ведущего
Что если Якубович не знает, где деньги?
В прошлый раз ты понял: менять первоначальный выбор выгодно. Но 2/3 жили не в шкатулках, а в правиле Якубовича — «открываю только пустую». Это правило давало тебе подсказку. Сейчас уберём его и посмотрим, что станет с вероятностью.
настроение Якубовича:
Переключи тумблер. Картинка слева не изменится, а число справа поедет.
Включи режим «наугад» и посчитай, как часто Якубович сам натыкается на деньги.
Поменялось не то, что ты видишь, а как ты это узнал. Так не только со шкатулками.
Звучит надёжно. Но в рекламе — только те, кто выжил. Фонды, что прогорели, давно закрылись и молчат. Ты видишь победителей не потому, что фонд хорош, а потому что проигравших тебе не показали.
Страшно. Но смотря почему тебя проверяли. Пришёл с симптомами — это повод. Сдал анализ просто так, для профилактики — чаще ложная тревога. Результат один, а вес у него разный.
Для тех, кто говорит на голубином языке: почему ровно 50/50
Ты выбрал шкатулку 1, ведущий открыл 3 (пустую). Меняется один множитель — \(P(\text{открыл }3\mid \text{деньги в }2)\):
Поменялось одно: «обязан открыть пустую» (\(=1\)) стало «случайно попал в пустую» (\(=\tfrac12\)). Этого хватило, чтобы 2/3 превратились в 1/2. Likelihood держится на правиле ведущего — в этом весь экран.
Условная вероятность — это не про то, что произошло, а про то, как вы об этом узнали.