в предыдущей серии

Положительное матожидание. Сто бросков. Ноль на руках.

P(орёл) выигрыш P(решка) проигрыш EV = 0.5 × (+50%) + 0.5 × (−40%) = +5%

Та же монетка, только к интуиции добавим математику.

Сыграй сам.

Старт — $1. Сто бросков. Орёл — ×1.5, решка — ×0.6.

попытка · #0 итог: —

—

Это и есть Сценарий Б из поста: один человек, 100 бросков подряд. Иногда везёт. Чаще — нет.

Заметь разницу между средним и медианой.

Распределение асимметричное.

Большая часть сценариев — слева, у нуля. Но в правом хвосте редкие сценарии с большим количеством орлов улетают далеко вверх. Например: один из тысячи людей получает 65 орлов из 100 — его капитал ~$4 800. Один из 25 тысяч людей получает 70 орлов — ~$456 000. Эти редкие большие выигрыши и тянут среднее.

Поэтому медиана $0.005, а среднее $131. Расстояние — пять порядков. Это и есть Volatility Drag.

↓ для тех, кто не боится духоты

«Проветри комнату, всяк сюда входящий — будет душно.»

1. Постановка.

Финальный капитал — произведение независимых случайных множителей: $X_T = \prod_{t=1}^T R_t$, где $R_t \in \{1.5,\, 0.6\}$ — Бернулли-множители. Логарифм линеаризует: $\ln X_T = \sum \ln R_t$.

2. Параметры.

Через моменты Бернулли:

\[\begin{aligned} \mu &= E[\ln R] = \tfrac{1}{2}\ln(1.5) + \tfrac{1}{2}\ln(0.6) = -0.0527 \\ \sigma^2 &= \mathrm{Var}[\ln R] = E[(\ln R)^2] - \mu^2 \approx 0.2099 \end{aligned}\]

3. Сходимость.

По центральной предельной теореме (i.i.d. слагаемые с конечной дисперсией):

\[\ln X_T \longrightarrow \mathcal{N}(\mu T,\, \sigma^2 T)\]

Значит $X_T \sim \mathrm{LogNormal}(\mu T,\, \sigma^2 T)$ с PDF

\[f(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi T}} \, \exp\!\left(-\frac{(\ln x - \mu T)^2}{2 \sigma^2 T}\right)\]

4. Median ≠ Mean.

Из свойств лог-нормального:

\[\begin{aligned} \mathrm{Median}(X_T) &= e^{\mu T} \approx \$0.005 \\ \mathrm{Mean}(X_T) &= e^{(\mu + \sigma^2/2)\,T} \approx \$131 \end{aligned}\]

Сдвиг $\sigma^2/2$ в показателе и есть Volatility Drag.

5. Связь с Itô.

В пределе непрерывного времени игра — геометрическое броуновское движение: $\frac{dX_t}{X_t} = \alpha\, dt + \sigma\, dW_t$. Применяя лемму Itô к $f(X) = \ln X$, получаем дрейф $d(\ln X) = (\alpha - \tfrac{\sigma^2}{2})\, dt + \sigma\, dW$. Та же поправка $-\sigma^2/2$ — convexity adjustment в Black-Scholes, drift correction в Black-76, и в Heston-моделях.

6. Эргодичность.

GBM не эргодичен в исходной шкале X: ансамблевое среднее $E[X_T]$ и временное среднее $\langle X_t \rangle_t$ расходятся. В шкале $\ln X$ процесс становится аддитивным, и эргодическая теорема Биркгофа возвращается: $\langle \ln X_t \rangle_t \to \mu$ почти наверное.

А если ставить не весь капитал каждый бросок?

Двинь слайдер — посмотри, как меняются медиана и среднее, если каждый бросок рисковать только частью.

- - - среднее——— медиана

капитал за 100 бросков

геом. доходность за бросок · g(f)

доля капитала · f 25%

среднее через 100 бросков

$3.46

медиана через 100 бросков

$1.86

У кривой g(f) справа есть пик. И он на 25%.

Двигай влево — становишься осторожнее. Медиана опускается с $1.86 к $1: при f = 0 ты вообще не играешь, капитал не двигается, остаёшься на старте.

Двигай вправо — становишься жаднее. Медиана падает к нулю, среднее улетает в небо. Это значит: типичный исход — разорение, а ты надеешься быть тем редким счастливчиком из правого хвоста.

Ровно посередине — на f* = 25% — медиана максимальна. Это и есть доля Kelly.

При Kelly та же монетка превращается из обречённой игры в растущую. Через 100 бросков типичный путь — $1.86. Не разорение, а почти удвоение. И это медиана — то, что случится с тобой, не с воображаемой толпой в параллельных вселенных.

Найдена эта формула в 1956 году Джоном Келли в Bell Labs — для шумных каналов связи. Через несколько лет её применили в покере, в блэкджеке, и в управлении капиталом. Сегодня она лежит в основе портфельной теории.

↓ ты мой любитель духоты, добро пожаловать обратно

1. Постановка.

Пусть на каждом раунде ставим долю $f \in [0,1]$ от капитала. Раунд даёт $+b$ с вероятностью $p$ и $-a$ с вероятностью $q = 1-p$. У нас $b = 0.5,\ a = 0.4,\ p = q = 0.5$.

2. Цель.

Максимизируем геометрический рост капитала, то есть ожидаемый логарифм одного раунда:

\[g(f) = p\,\ln(1 + bf) + q\,\ln(1 - af)\]

Логарифм здесь не случаен: произведение раундов превращается в сумму log-доходностей, и максимизация суммы — это максимизация типичного итога (медианы), не среднего.

3. Производная.

\[g'(f) = \frac{pb}{1 + bf} - \frac{qa}{1 - af} = 0\]

Решение:

\[f^* = \frac{pb - qa}{ab}\]

4. Для нашей монетки.

\[f^* = \frac{0.5 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0.4}{0.5 \cdot 0.4} = \frac{0.05}{0.2} = 0.25\]

Подставляем: $g(0.25) = 0.5\,\ln(1.125) + 0.5\,\ln(0.9) \approx +0.62\%$ за бросок.

Через 100 бросков типичный итог: $\exp(0.62\% \times 100) \approx \$1.86$.

5. Kelly-Shannon.

В оригинальной статье 1956 года Kelly показал глубокую связь между оптимальным размером ставки и теорией информации Shannon: максимум геометрического роста капитала математически эквивалентен максимизации информационной пропускной способности игрока. Это и есть Kelly-Shannon equivalence — мост между теорией информации и финансами. Конкретная формула зависит от структуры игры (edge в вероятностях vs в payoffs); для общей теории — оригинальная статья Kelly.

6. Что Kelly не делает.

Kelly не максимизирует ожидаемый капитал $E[X_T]$ — для этого нужно ставить ва-банк. Kelly максимизирует типичный исход — медиану. Это решение для тех, кто играет одну реальную жизнь, а не для среднего по параллельным вселенным.

7. Полу-Kelly.

На практике инвесторы часто используют $f^*/2$ (half-Kelly). Аргумент: оценка вероятностей $p$ в реальной жизни всегда с шумом, а функция $g(f)$ асимметрична — превышение $f^*$ наказывается сильнее, чем недоставка. Поэтому осторожнее.

та же монетка. те же шансы.
просто подключил оба полушария.

Финансовый риск-менеджмент — это не про запрет рисковать, это про правильную дозу

опорные авторы и тексты

пост-анонс ↗ Kelly · 1956 ↗ Taleb · Skin in the Game ↗ Peters · Ergodicity Economics ↗

архив v2 — три девальвации ← darmen.best